Hãy tưởng tượng nếu bạn chỉ có thể di chuyển qua lại trên một sợi dây mảnh, đó chính là thế giới của trục số thực. Nếu bạn muốn nhảy lên phía trên, sợi dây sẽ không chịu nổi bạn. Việc giới thiệusố phứcgiống như thêm vào thế giới của bạn một chiều mới hoàn toàn. Mỗi số phức dạng $z = a + bi$ không còn đơn thuần là một điểm trên trục số nữa, mà trở thành tọa độ $(a, b)$ trên mặt phẳng, hoặc là một vectơ phát ra từ gốc tọa độ. Sự tương ứng hoàn hảo giữa "số" và "hình" này là một trong những bước tiến vĩ đại nhất trong lịch sử toán học.
Định nghĩa đại số và đối ứng hình học của số phức
Trong sách giáo khoa bắt buộc tập hai, chúng ta đã học về hệ số phức. Số phức được tạo thành bởiphần thựcvàphần ảotạo thành, với dạng đại số chuẩn là $z = a + bi$ ($a, b \in \mathbb{R}$).
Để hiểu rõ hơn về số phức một cách trực quan, chúng ta đã xây dựngmặt phẳng phức:
- trục thực：tương ứng với trục $x$, biểu thị phần thực của số phức.
- trục ảo：tương ứng với trục $y$, biểu thị phần ảo của số phức.
- Điểm và số phức：Số phức $z = a + bi$ và điểm $Z(a, b)$ tạo thành mối quan hệ một-một.
- Vectơ và số phức：Số phức $z = a + bi$ và vectơ mặt phẳng $\vec{OZ}$ tạo thành mối quan hệ một-một.
Mô-đun của số phức $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, ý nghĩa hình học là khoảng cách từ điểm $Z$ trong mặt phẳng phức đến gốc tọa độ. Trong khi đó, $|z_1 - z_2|$ chính là khoảng cách giữa hai điểm.
$$z = a + bi \iff Z(a, b) \iff \vec{OZ}$$